Владимир Анатольевич Дородницын — российский учёный в области прикладной математики, д.ф.-м.н. (1992), профессор, главный научный сотрудник Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. Преподавал в МФТИ, в МГУ, в МГОУ. Автор множества статей и нескольких книг по своему направлению в математике.
Интерес к непрерывным симметриям дискретных уравнений (т. е. группам преобразований Ли, допускаемым такими уравнениями) происходит, как минимум, из двух источников.
Во-первых, дискретные уравнения служат первичными, фундаментальными математическими моделями в физике и механике. Их интегрируемость, существование точных решений и законов сохранения, несомненно, связаны с наличием непрерывных симметрий. В связи с этим возникает вопрос о поиске и использовании групп преобразований, допускаемых дискретными уравнениями.
Во-вторых, моделирование заданной системы дифференциальных уравнений разностными схемами также могут быть основаны на симметриях. Хорошо известно, что одну и ту же систему дифференциальных уравнений можно аппроксимировать формулами бесконечно многих разностных схем. Следовательно, возникает проблема выбора схем, которые в некотором отношении предпочтительны.
Критерии выбора часто задаются фундаментальными физическими принципами, известными в настоящее время в исходных физических моделях, таких, как законы сохранения, вариационные принципы и т.д. В связи с этим качественные соображения играют значительную роль при построении численных алгоритмов, поскольку они позволяют включить «физический смысл» исследуемого объекта в численный метод, используемый для анализа той или иной математической модели. Эта точка зрения привела к интегро- интерполяционному подходу к построению разностных схем, вариационным методам построения схем, симплектическим численным методам и т.д.
Инвариантность дифференциальных уравнений относительно непрерывных групп преобразований безусловно является фундаментальным свойством этих моделей и отражает однородность и изотропность пространства-времени, принцип Галилея и другие свойства симметрии, которые интуитивно (или экспериментально) учитываются создателями математических моделей. Поэтому в теории разностных схем важно сохранить свойства симметрии при переходе к конечно-разностной модели, адекватно представляющей симметрию исходной дифференциальной модели. Это может служить вышеупомянутым критерием выбора.
Я впервые познакомился с идеей о том, что качественные (физические) характеристики дифференциальных уравнений должны сохраняться в разностных моделях, на семинаре А. А. Самарского в конце 1960-х годов, главным образом, в связи с построением консервативных разностных схем и вариационных численных методов решения задач газодинамики и магнитной гидродинамики.
С теоретической точки зрения эти работы Самарского и его научной школы, возможно, опередили свое время. Кстати, все их публикации того времени были только на русском языке.
В то же время сообществом математиков, занимавшихся качественными методами теории дифференциальных уравнений, не уделялось большого внимания разностным уравнениям. Эти идеи получили широкое распространение и развитие лишь несколько десятилетий спустя. В настоящее время интенсивно разрабатываются методы, делающие упор на сохранение геометрических, алгебраических и других качественных свойств множества решений исходной дифференциальной системы. В последние годы они иногда объединялись под общим названием “геометрическое численное интегрирование”.
Теория непрерывных групп преобразований была впервые сформулирована С. Ли.
Дальнейшее развитие группового анализа дифференциальных уравнений и систематическое изучение структуры их множеств решений зародилось в работах Л. В. Овсянникова и его научной школы. Это действительно было второе рождение группового анализа, по крайней мере, в России.
Публикация статей Овсянникова и книги в СССР 1960-х годов привели к буму исследований и публикаций по теме группового анализа. Работы Овсянникова, Биркгофа, их учеников и последователей получили широкое распространение. Они превратили идею Ли об описании симметрии дифференциальных уравнений в независимую научную область.
Мемориальная доска на здании Вычислительного центра имени А. А. Дородницына РАН
В настоящее время групповой анализ является общепризнанным методом, описывающим непрерывные симметрии дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики.
Очень заманчиво использовать теоретико-групповой подход при построении и изучении различных математических моделей (в том числе разностных схем), поскольку групповой анализ располагает мощными линейными критериями инвариантности объектов. Таким образом, может быть решена задача нахождения непрерывной группы преобразований, допускаемой данным дифференциальным уравнением или системой. Она сводится к решению системы линейных уравнений независимо от того, является ли исходная модель линейной или нет. Чтобы смоделировать физический процесс с известной симметрией, необходимо найти набор дифференциальных (или, в случае разностных схем, разностных) инвариантов, и эта задача также линейна. Знание группы преобразований, допускаемой математической моделью, предоставляет важную информацию о множестве решений модели, поскольку структура этой группы коррелирует
с алгебраической структурой множества решений.
Чем выше размерность допустимой группы, тем шире возможности для её применения. Поэтому, видимо, важно сохранить всю симметрию исходной непрерывной модели в ее конечно-разностном аналоге.
Пространство конечно-разностных переменных включено в «непрерывное» пространство, т. е. непрерывные преобразования действуют на все евклидово пространство соответствующей размерности, но мы отслеживаем лишь счётное множество его точек. Таким образом, в математическом аппарате используются два типа переменных: непрерывные и дискретные. Первые используются для описания касательных полей непрерывных групп преобразований, а вторые служат для построения разностных форм и уравнений. В результате возникает довольно необычный объект: бесконечно малый линейный оператор симметрии, действие которого представляет собой непрерывное дифференцирование относительно дискретных переменных.
Мои первые работы по построению инвариантных разностных моделей были написаны совместно с М. Бакировой, специалистом по теории разностных схем. С благодарностью вспоминаю наше сотрудничество. Благодарен своим ученикам: С.Свирщевскому, Р. Козлову, Е.Капцову, совместно с которыми получено и опубликовано множество результатов. С профессором П. Винтерницем (Университет Монреаля) меня связывало плодотворное сотрудничество более четверти века.
Я глубоко признателен Л. В. Овсянникову, А. А. Самарскому и С.П.Курдюмову, с которыми мы общались много лет, и которые существенно повлияли на мои научные интересы.
