Осипенко Георгий Сергеевич — доктор физико-математических наук (1990), профессор (1992), профессор кафедры прикладной математики МГУ имени М.В. Ломоносова, Филиал МГУ в г. Севастополе.
Что такое спектр Морса?
Одним из основных понятий теории динамических систем является характеристический показатель траектории, который был введен Ляпуновым в 1892 г. в его докторской диссертации. Важность и актуальность исследований, связанных с показателями Ляпунова, невозможно переоценить. Показатель Ляпунова траектории — величина, характеризующая скорость изменения расстояния между близкими траекториями. Наиболее просто считаются показатели для периодической траектории. Число различных показателей не превосходит размерности пространства, т.к. характеристический показатель зависит от направления, в котором рассматриваются близкие траектории. Если показатель положительный, то траектории удаляются друг от друга, при отрицательных показателях траектории сближаются. Если периодическая траектория имеет часть положительных и часть отрицательных показателей, то к ней по некоторым направлениям траектории приближаются, а по другим удаляются. Вычисление показателей Ляпунова периодической траектории не представляет особых трудностей. Часто нелинейные системы имеют в компактной области бесконечно много периодических траекторий, периоды которых не ограничены, что характерно для хаотических режимов. В этом случае мы не способны вычислить показатели Ляпунова всех этих траекторий.
Есть еще одна проблема — все вычисления производятся приближенно. Например, персональный компьютер считает с точностью до 10 в степени -17. Это приводит к тому, что мы оперируем не настоящими траекториями, а псевдотраекториями, которые несколько отличаются от траекторий. Спектр Морса — это множество показателей Ляпунова всех периодических псевдотраекторий системы. Показано, что спектр Морса состоит из отрезков и для практики чрезвычайно важно вычислить его хотя бы приближенно.
В чем заключается предложенный вами метод символического образа динамической системы.
Нами рассматривалась дискретная динамическая система, порожденная отображением f. Глобальная структура траекторий системы является достаточно сложным объектом. Символический образ динамической системы — это ориентированный граф, который является конечным приближением этой системы. Исследование символического образа позволяет получить представление о глобальной структуре траекторий системы. В настоящее время теория графов обладает хорошо развитой теорией и практикой вычисления, что дает возможность получить информацию о динамике системы численными методами теории графов.
Символический образ строится следующим образом. Пусть существует конечное покрытие области исследования замкнутыми ячейками. Символический образ динамической системы есть ориентированный граф с вершинами, соответствующими ячейкам, а вершины i и j связаны дугой i?j, если образ ячейки f(i) пересекает ячейку j. Траекториям динамической системы соответствуют пути на символическом образе, что позволяет оценить глобальную структуру траекторий системы. Точность полученной информации определяется максимальным диаметром ячеек. Нами было показано, что множество путей символического образа сходится к множеству траекторий системы, когда диаметр покрытия стремится к нулю.
Чем обусловлено введение кодировки траекторий и инвариантных мер?
Кодировкой человечество пользовалось всегда. Например, мы пишем «ведро». Это не означает, что мы имеем ввиду эти пять букв в определенном порядке. Мы употребляем это слово для обозначения известного объекта для хранения и перемещения воды. Таким образом, эта последовательность из пяти букв есть кодировка данного объекта, но не сам объект. Причем кодировка данного объекта во Франции существенно отличается от кодировки в Китае. Другой пример: все компьютерные объекты и операции кодируются двоичными символами. При построении символического образа мы имеем покрытие области исследования набором ячеек.
Если каждая ячейка имеет свой символ, то траектории динамической системы можно кодировать символами ячеек, через которые проходит траектория. Так как число ячеек конечно, то кодировка траекторий осуществляется посредством конечного числа символов. При этом существенное значение имеет порядок следования этих символов. Таким образом, траектория кодируется последовательностью вершин символического образа, т.е. путем на ориентированном графе.
Инвариантная мера динамической системы порождает вероятностное распределение (поток) на дугах символического образа. Основным свойством такого распределения является закон Кирхгоффа: для каждой вершины входящий поток равен исходящему. Мы показали, что каждый абстрактный поток является аппроксимацией некоторой инвариантной меры. Это позволяет рассматривать поток на графе как кодировку инвариантных мер динамической системы.
Таким образом, пути на символическом образе кодируют траектории и потоки кодируют инвариантные меры динамической системы. Изучение пространства путей и пространства потоков символического образа дает представление о динамике системы.
В чем заключается предложенный вами метод вычисления спектра Морса?
Предложена следующая схема вычисления спектра Морса: трансформировать динамическую систему в символический образ и задачу вычисления спектра преобразовать в задачу теории графов. Траекториям динамической системы соответствуют допустимые пути на графе. В частности, периодическим траекториям соответствуют периодические пути графа. Для вычисления показателя Ляпунова надо построить оснащение графа, состоящее в том, что каждой вершине сопоставляется некоторое число. В этом случае показатель Ляпунова периодического пути есть среднее значение заданного оснащения на периоде.
Число периодических путей на графе обычно не ограничено. Однако, было доказано, что для вычисления спектра Морса достаточно найти средние значения на циклах; цикл есть периодический путь, проходящий через разные вершины. Так как число вершин конечно, то число циклов тоже конечно. Для вычисления спектра Морса достаточно найти показатели экстремальных циклов. Существует алгоритм теории графов, который осуществляет вычисления средних значений экстремальных циклов, что позволяет найти спектр Морса приближенно. Для получения необходимой точности надо строить символический образ для покрытия достаточно малого диаметра.
Вы исследовали свойства биологических процессов с памятью. Как они характеризуются в рамках формализма динамических систем?
Нами была рассмотрена задача моделирования эволюции численности биологического вида. Хорошо известно, что динамика объема биологического вида имеет периодический характер. Например, численность лосося, проходящего на нерест в этом году, зависит от того, какая была численность в предыдущих годах. Создается впечатление, что биологический вид помнит свою предысторию или обладает памятью. Такая динамика может выражаться уравнением с запаздыванием, когда будущее состояние системы зависит не только от настоящего состояния, но и зависит от состояний в предыдущие отрезки времени.
Имеется теорема Такенса, которая дает обоснование для применения уравнений с запаздыванием. Она состоит в следующем. Если имеется неизвестная нам динамическая система размерности n, но мы можем наблюдать величину z, зависящую от этой системы, то, как правило, величина z в настоящий период времени определяется значениями z в предшествующих 2n+1 периодах времени. Таким образом, изучая одну наблюдаемую величину достаточно продолжительное время, мы можем прогнозировать динамику наблюдаемой величины. Более того, в реальных условиях число периодов наблюдения может оказаться меньше чем 2n+1.
Нами изучены уравнения, содержащие одно и два запаздывания. Эти уравнения содержат коэффициенты воспроизводства, коэффициенты внутривидовой конкуренции и т. д. Влияние внешней среды описывается как хаотическое малое возмущение данных уравнений. Предложенные модели показывают достаточно сложную динамику, которая существенно зависит от коэффициента воспроизводства. Оказалось, что при большом коэффициенте воспроизводства (как у вирусов) возможна хаотическая динамика численности.
Как теория бифуркаций может описывать динамику экономических моделей?
Нами исследовалась динамика макроэкономической системы, в которой взаимодействуют национальный доход, ставка процента и уровень цен. Такое взаимодействие моделируется дискретной динамической системой в трехмерном пространстве. Система имеет кривую, заполненную неподвижными точками, которые описывают равновесия на рынке денег, товаров и услуг. Показано, что существует слоение, трансверсальное к данной кривой, каждый слой которого является инвариантным для системы. Существуют слои, на которых состояние равновесия является устойчивым. От слоя к слою динамика системы меняется, происходит бифуркация. При этом существуют два маршрута бифуркаций. Первый путь проходит по схеме: неподвижная точка теряет устойчивость, рождается устойчивый инвариантный эллипс (бифуркация Неймарка-Саккера), на эллипсе появляются периодические гиперболические орбиты, которые порождают хаос через трансверсальное пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий.
Другой путь приводит к хаосу через бифуркацию удвоения периода. Хаос в экономической системе означает невозможность прогнозирования. Если хаос достигает существенных значений, то наступает экономический кризис. Также мы моделировали воздействие внешней среды на систему малыми случайными неконтролируемыми возмущениями. В этом случае система не сохраняет состояния равновесия и инвариантность слоев, что порождает более сложную динамику. Оказалось, что существенное влияние на динамику системы оказывает возмущение процентной ставки. Малые её возмущения приводят к тому, что траектория начинает смещаться вдоль состояний равновесия и попадает сначала в неустойчивое состояние равновесия, а затем в слой, где наблюдается хаос, величина которого может увеличиваться, достигая значительных размеров.
Интервью: Иван Степанян
