Биоподобные свойства бикватернионных делителей нуля. Сергей Котковский

Сергей Яковлевич Котковский. Ведущий разработчик интернет-компании Неофилл. В 1996 году с отличием окончил Московский физико-технический институт по специальности “Элементарные частицы”.

  • После окончания работал под руководством проф. К.А.Тер-Мартиросяна в Институте теоретической и экспериментальной физики (Москва). Работы этого периода посвящены изучению распадов тяжелых мезонов и барионов.
  • В настоящее время живёт и работает в городе Кливленде, США. Занимается созданием интернет-базированных систем, включая проектирование, разработку и интеграцию программного обеспечения.

Главные области научных интересов: нелинейная теория электромагнитного поля, векторная алгебра, алгебра и анализ кватернионов. Среди полученных научных результатов: нелинейные уравнения Максвелла, нульвекторная алгебра, алгебра векторных циклов. Некоторые из этих результатов могут иметь отношение к биологическим процессам и создаваемой теории биологического поля. В области теории систем основные интересы лежат в изучении направленной самоорганизации, системных фазовых переходов и динамики развития социосистем.

Бикватернионы были открыты Гамильтоном вслед за открытием им кватернионов, как комплекснозначное расширение последних.  Какие результаты Вам удалось получить в результате  исследований в этой области?

Гамильтон обнаружил существование делителей нуля среди бикватернионов (мы их называем  «нулькватернионами»), которые до сих пор оставались малоизученными.  Мы изучаем связи между различными видами нулькватернионов, в частности, между так называемыми «обыкновенными» нулькватернионами и нульвекторами, то есть трёхмерными комплекснозначными векторами, имеющими нулевой квадрат.  В результате нами был обнаружен ряд свойств, главные из которых выражены теоремами о нульвекторной факторизации и аллельности.

Но аллели – это биологический термин, означающий различные формы одного и того же гена, расположенные в одинаковых участках (локусах) гомологичных хромосом, которые определяют направление развития конкретного признака. Как связаны аллели с алгебраическими объектами?

Есть свойство, которое указывает на подобие нульвекторов и биологических генов. Это следствие нульвекторной факторизации: при умножении друг на друга нулькватернионы дают произведению каждый по своей структурной половине. В генетике при скрещивании половина генетической информации родителя передаётся потомку. В случае нулькватернионов в качестве такой половины выступает либо левая, либо правая структурная половина, в зависимости от порядка произведения двух нулькватернионов. То есть в произведении двух нулькватернионов сохраняется одна из двух структурных половин каждого из сомножителей. Последнее обстоятельство указывает на замечательное сходство нульвекторной алгебры с генетикой: произведение нульвекторов подобно соединению аллельных генов в хромосоме.

Таким образом, произведение нулькватернионов является математическим аналогом диплоидного генетического скрещивания. Так, на наш взгляд, получает свое продолжение идея алгебраического основания процессов живой природы С.В.Петухова, в которой была показана связь между молекулярно-генетическими алфавитами и гиперкомплексными числами.

Проведенное нами изучение алгебраических свойств нульвекторов, также называемых изотропными векторами, представляет интерес и для физики. В частности, суперпозиция изотропных векторов, связанных с безмассовыми полями, служит базисом теоретического построения т.н. идущей волны А.В.Горюнова, моделирующей массивные частицы.

Насколько удобен язык матриц для описания обнаруженных Вами свойств бикватернионов?  

Известно, что кольцo бикватернионов  изоморфно кольцу комплексных матриц второго ранга (матриц Паули). Именно поэтому наши результаты можно получить, прибегая к языку матриц. Однако используемое нами представление «скаляр-вектор» более наглядно и полезно с методологической точки зрения.

Обратим внимание на то, как соответствует наша векторная терминология матричной. Квадрат модуля бикватерниона, определенный в матричном представлении, есть определитель матрицы. Нулькватернионам соответствуют вырожденные матрицы (определитель которых равен нулю), векторам – матрицы с нулевым следом, нульвекторам – вырожденные матрицы с нулевым следом (нильпотентные матрицы).

Можно сделать общий вывод о том, что любой нулькватернионный класс есть алгебра над полем комплексных чисел. Такое утверждение нельзя сделать о любых бикватернионных классах, но только о нулькватернионных.

Преимущество кватернионного скаляр-векторного описания перед матричным заключается в том, что в нём мы имеем дело исключительно с кватернионами, тогда как в случае с матрицами среди последних необходимо «вручную» выделять их особые подклассы.

Каковы перспективы для молекулярной генетики и биофизики у Вашей теории ?

При изучении алгебр нульвекторов мы обнаружили их выраженное подобие схеме наследования и проявления парных генов. Это даёт надежду на использование нульвекторов для моделирования самих генов. Но физически нульвектор описывает плоскую электромагнитную волну с круговой поляризацией. Исходя из этой аналогии, структура нульвектора, моделирующего ген, указывает на безмассовый характер последнего, рассматриваемого как полевой объект. Такие объекты возникают в нелинейной теории поля как солитоны. Взаимодействия предлагаемого к рассмотрению нелинейного поля включают помимо обычных силовых (энергетических) также фазовые и структурные. Фазовые взаимодействия работают на синхронизацию частот и фаз резонансов. Но разработка строгой теории биологического поля это тема отдельного разговора.

Интервью: Иван Степанян

Read more: Современная наука с Иваном Степаняном ...